Задача к ЕГЭ по информатике на тему «исполнитель «чертежник»» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$ПО В ТО Р И чи сло РА З$

$посл едовател ьность ком анд$

$КО Н ЕЦ П ОВ ТО Р И$

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

$НА Ч АЛ О$

$см еститься на (− 238,− 592)$

$П О ВТ О РИ k РА З$

$смест иться на (c,731)$

$смест иться на (920,d)$

$К О НЕ Ц П О ВТ О РИ$

$см еститься на (− 210,16)$

$КО Н ЕЦ$

Укажите количество чисел $k < 72$ , для которых найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 238 + k(c + 920 ) − 210;$

$Δy = − 592 + k(731 + d) + 16.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 238 + k (c + 920 ) − 210 = 0 − 592 + k (731 + d) + 16 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c + 920 ) = 448 k (731 + d) = 576

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел $k$ , которые являются делителем и $448$ , и $576$ . Отсеяв делители большие или равные $72$ , мы получим совпадения в следующих числах: $1,2,4, 8,16,32$ и $64$ . Этих чисел $7$ , значит это ответ к задаче.

Ответ: 7