Задача к ЕГЭ по информатике на тему «частично заполненный фрагмент таблицы» №1

Логическая функция $F$ задаётся выражением $-- ------ w ∧ (x ∨ y) ∧ w ≡ z.$

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции $F,$ содержащий неповторяющиеся строки, при которых функция $F$ истинна.

|----|----|----|----|---| |???-|???-|???-|???-|F--| |-1--|???-|-0--|-0--|-1-| |???-|-0--|-0--|-1--|-1-| | 1 | 0 |??? |??? | 1 | -------------------------

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции $F$ соответствует каждая переменная $w,$ $x,$ $y,$ $z.$

Решениие программой

print(’x y z w’)
a = (0, 1)
for x in a:
    for y in a:
        for z in a:
            for w in a:
                if (w and (x or not(y)) and not(w == z)) == True:
                    print(x, y, z, w)

Решениие руками

Заметим, что во всех трех строках $F = 1.$ Чтобы конъюнкция была истинна (все высказывания, входящие в нее, должны быть истинны), $w$ всегда должна равняться единице. Этому условию соответствует только первый столбец, т.к в других присутствует хотя бы один ноль. Также $-- x ∨ y$ и $------ w ≡ z$ должны быть истинны, чтобы конъюнкция была истинна.

Если $(w--≡-z) = 1,$ то $(w ≡ z ) = 0.$

Мы уже знаем, что $w = 1.$ Тогда чтобы операция эквивалентности $w ≡ z$ была ложна, $z$ должна быть равна 0 (операция эквивалентности ложна, если одно высказывание, входящее в нее, ложно, а другое истинно). Тогда $z$ — это второй или третий столбец, потому что первый — это уже $w,$ а в четвертом во второй строке содержится единица.

Рассмотрим вторую строчку. Её удобно рассматривать, так как нам известно, что в первом столбце будет единица (так как он соответствует $w ),$ значит, нам известны все значения в этой строке. Таким образом, в этой строке две единицы и два нуля. Если $y = 1,$ то $x = 0$ (так как в строке всего две единицы, которые при таком предположении уже соответствуют $w$ и $y).$ Но тогда $-- x ∨ y = 0 ∨ 0 = 0.$ Такое нам не подходит, ведь функция $F$ должна быть истинна. Значит, $x$ должна быть равна 1. Она будет соответствовать четвертому столбцу.

Разберемся со вторым и третьим столбцами. Предположим, что $z$ соответствует третьему столбцу, тогда $y$ — это второй столбец. Рассмотрим первую строку. $x = 0,$ значит, чтобы $-- x ∨ y$ была истинна, $-- y$ должна быть равна 1 и $y = 0.$ Тогда таблица истинности из условия будет выглядеть так:

|--|--|--|-----|--| |w |y |z | x |F | |--|--|--|-----|--| |1-|0-|0-|--0--|1-| |1-|0-|0-|--1--|1-| -1--0--0---???--1--

Нам сказано, что в приведенном фрагменте таблицы истинности содержатся неповторяющиеся строки. Если $x = 1,$ то третья строка будет совпадать со второй. Если $x = 0,$ то третья строка будет совпадать с первой. Значит, наше предположение было неверным. Тогда второй столбец — это $z,$ а третий — это $y.$

Тогда таблица будет выглядеть так:

|--|--|----|-----|--| |w-|z-|-y--|-x---|F-| |1-|0-|-0--|--0--|1-| |1 |0 | 0 | 1 |1 | |1-|0-|???-|-???-|1-| ---------------------

Если $y = 1,$ то $x = 1$ (чтобы $-- x ∨ y$ была истинна). Если $y = 0,$ то $x$ может быть любым (так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, уже истинно), но такие значения уже содержатся в первых двух строках.

Значит, итоговая таблица будет выглядеть так:

|--|--|--|---|--| |w-|z-|y-|x--|F-| |1-|0-|0-|-0-|1-| |1-|0-|0-|-1-|1-| |1 |0 |1 | 1 |1 | -----------------

Ответ: wzyx